Question

(13分) 已知等比數(shù)列{a_n}中，a₂＝2，a₅＝128．
(1) 求通項a_n；
(2) 若b_n = log₂a_n，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且S_n = 360，求n的值．

Answer 1

(1) a_n＝a₂·q^n—2＝2·4^n—2＝2^{2n—3  ；}(2) n＝20為所求

本試題主要是考查了數(shù)列的概念和數(shù)列求和的綜合運用。
（1）根據(jù)等比數(shù)列{a_n}中，首項和公比來表示已知中a₂＝2，a₅＝128．，，得到通項公式。
（2）結(jié)合上一問的結(jié)論，b_n＝log₂2^2n－3＝2n－3，然后利用等差數(shù)列求和得到結(jié)論。
解：(1) 設公比為q，由a₂＝2，a₅＝128及a₅＝a₂q³得 128＝2q³，
∴q＝4 ∴a_n＝a₂·q^n—2＝2·4^n—2＝2^2n—3  ····················· 6分
(2) b_n＝log₂2^2n－3＝2n－3 ·························· 8分
∴數(shù)列{b_n}是以－1為首項，2為公差的等差數(shù)列
∴S_n＝n (－1)＋＝n²－2n ····················· 11分
令n²－2n＝360得n₁＝20，n₂＝－18（舍）
故n＝20為所求 ······························ 13分