Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，M為PD的中點，PA=AB．
（I）求直線BC與平面ACM所成角的正弦值；
（II）求平面PAB與平面ACM所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）利用V_M-ADC=V_D-AMC，求出D到平面AMC的距離，從而可得直線AD與平面ACM所成角的正弦值；
（II）過M作ME⊥PA，垂足為E，連接BE，則△ABE為△ACM在平面PAB中的射影，利用面積射影法，可求平面PAB與平面ACM所成銳二面角的余弦值．

解答：解：（I）設PA=AB=2a，D到平面AMC的距離為d，則AM=DM=

2

a，CM=

6

a，AD=DC=2a，AC=2

2

a，
∵AM²+CM²=AC²，∴AM⊥CM
∴S_△AMC=

1

2

×

2

a×

6

a=

3

a2
∵S△ADC=2a2
∴由V_M-ADC=V_D-AMC可得

1

3

×2a2×a=

1

3

×

3

a2×d
∴d=

2 3

3

a
∵AD=2a，∴直線AD與平面ACM所成角的正弦值為

3

3

∵AD∥BC，∴直線BC與平面ACM所成角的正弦值為

3

3

；
（II）過M作ME⊥PA，垂足為E，連接BE，則△ABE為△ACM在平面PAB中的射影
∵AB=2a，AE=a，∴S△ABE=a2
∵S_△AMC=

3

a2
∴平面PAB與平面ACM所成銳二面角的余弦值為

S△ABE

S△AMC

=

3

3

．

點評：本題考查線面角，考查面面角，解題的關鍵是求出點到面的距離，確定三角形的面積，屬于中檔題．