Question

已知兩單位向量

e1

，

e2

的夾角為60°，則向量

a

=2

e1

+

e2

與

b

=3

e1

-2

e2

的夾角為

π

3

．?

Answer 1

分析：由條件求得|

a

|、|

b

|、以及

a

•

b

的值，設向量

a

=2

e1

+

e2

與

b

=3

e1

-2

e2

的夾角為θ，則 0≤θ≤π，利用兩個向量的夾角公式cosθ=

a • b

| a  |•| b |

，運算求得結果．

解答：解：∵單位向量

e1

，

e2

的夾角為60°，∴|

e1

|=|

e2

|=1，且

e1

•

e2

=1×1cos60°=

1

2

．
∴|

a

|=

(2 e1 + e2 )2

=

4+4×1×1×cos60°+1

=

7

，
|

b

|=

(3 e1 -2 e2 )2

=

9-12×1×1×cos60°+4

=

7

，

a

•

b

=（2

e1

+

e2

）•（3

e1

-2

e2

）=6

e1

2-

e1

•

e2

-2

e2

2=6-

1

2

-2=

7

2

．
設向量

a

=2

e1

+

e2

與

b

=3

e1

-2

e2

的夾角為θ，則 0≤θ≤π，
cosθ=

a • b

| a  |•| b |

=

7 2

7 • 7

=

1

2

，∴θ=

π

3

，
故答案為

π

3

．

點評：本題主要考查兩個向量的夾角公式的應用，求向量的模的方法，根據三角函數的值求角，屬于中檔題．