Question

已知點、為雙曲線：的左、右焦點，過作垂直于軸的直線，在軸上方交雙曲線于點，且．圓的方程是．
（1）求雙曲線的方程；
（2）過雙曲線上任意一點作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為、，求的值；
（3）過圓上任意一點作圓的切線交雙曲線于、兩點，中點為，求證：．

Answer 1

(1) ；(2)；(3)證明見解析．

解析試題分析：(1)從雙曲線方程中發現只有一個參數，因此我們只要找一個關系式就可求解，而這個關系式在中，，，，通過直角三角形的關系就可求得；(2)由(1)知雙曲線的漸近線為，這兩條漸近線在含雙曲線那部分的夾角為鈍角，因此過雙曲線上的點作該雙曲線兩條漸近線的垂線，為銳角，這樣這題我們只要認真計算，設點坐標為，由點到直線距離公式求出距離，利用兩條直線夾角公式求出，從而得到向量的數量積；(3)首先 等價于，因此設，我們只要證，而可以由切線的方程與雙曲線方程聯立方程組得到，再借助切線方程得到，驗證下是否有，注意上述情形是在時進行的，而時，切線為或，直接驗證即可．
試題解析：（1）設的坐標分別為
因為點在雙曲線上，所以，即，所以 
在中，，，所以           2分
由雙曲線的定義可知：
故雙曲線的方程為：                                     4分
（2）由條件可知：兩條漸近線分別為        5分
設雙曲線上的點，設兩漸近線的夾角為，則
則點到兩條漸近線的距離分別為   7分
因為在雙曲線：上，所以
又，
所以        10分
（3）由題意，即證：。
設，切線的方程為：                   11分
①當時，切線的方程代入雙曲線中，化簡得：

所以：
又  13分
所以            15分
②當時，易知上述結論也成