Question

（2013•內江二模）在實數集R中定義一種運算“⊕”，對任意a，b⊕b為唯一確定的實數且具有性質：
（1）對任意a，b∈R，有a⊕b=b⊕a；
（2）對任意a∈R，有a⊕0=a；
（3）對任意a，b，c∈R，有（a⊕b）⊕c=c⊕（ab）+（a⊕c）+（c⊕b）-2c．
已知函數f(x)=x⊕

1

x

，則下列命題中：
（1）函數f（x）的最小值為3；
（2）函數f（x）為奇函數；
（3）函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，-1）、（1，+∞）．
其中正確例題的序號有

（3）

．

Answer 1

分析：對于新定義的運算問題常常通過賦值法得到一般性的結論，對f（x）的解析式進行化簡，利用導數法分析出函數的單調性和最值，再利用函數奇偶性的定義分析出函數的奇偶性，可得答案．

解答：解：由新運算“⊕”的定義（3）令c=0，則a⊕b=ab+a+b
∴f(x)=x⊕

1

x

=1+x+

1

x

，
∴f′（x）=1-

1

x2

，令f′（x）=0
則x=±1，
∵當x∈（-∞，-1）或（1，+∞）時，f′（x）＞0
∴函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，-1）、（1，+∞）．故（3）正確；
根據對勾函數的圖象和性質，可得
在區間（-∞，-1）上，函數圖象向下，向上無限延長
故函數f（x）無最小值，故（1）錯誤；
又∵f（-x）=1-x-

1

x

，與f（x）不相反，故函數f（x）不是奇函數，故（2）錯誤
故正確的序號有（3）
故答案為：（3）

點評：本題是一個新定義運算型問題，考查了函數的最值、奇偶性、單調性等有關性質以及同學們類比運算解決問題的能力．