Question

已知偶函數f（x）的周期為6，且當0≤x≤3時，f（x）=x²-4x+4，g（x）=f（x）-

1

2

x

，則g（x）的零點有（　　）

A．21個

B．22個

C．23個

D．24個

Answer 1

分析：先根據函數的周期性和偶函數圖象的性質畫出y=f（x）的圖象，以及y=

1

2

x

的圖象，結合圖象求出在[0，6]上和在[6，12]上的交點個數，再求出

1

2

x

=4時的解，y=

1

2

x

的圖象在y=f（x）的圖象上方的臨界點，再由周期性和圖象求出g（x）=f（x）-

1

2

x

|的零點個數．

解答：解：由題意得，當0≤x≤3時，f（x）=x²-4x+4=（x-2）²，
由偶函數f（x）的周期為6畫出函數f（x）的圖象，并在同一坐標系中畫出y=

1

2

x

的圖象，

由圖得，在[0，6]上y=f（x）與y=

1

2

x

的圖象有4個交點，在[6，12]上有2個交點，即以后相交的每個周期都有2個交點，
再由y=

1

2

x

=4得，x=64，則區間[0，64]共有10個周期和

2

3

個周期，而

2

3

個周期的圖象如[6，10]上的圖象：只有1個交點，
∵y=

1

2

x

在[0，+∞）上遞增，
∴y=f（x）與y=

1

2

x

有且僅有：4+9×2+1=23個交點，
則g（x）=f（x）-

1

2

x

有23個零點，
故選C．

點評：本題考查函數的零點個數的求法以及函數性質的應用，關鍵是根據函數f（x）性質正確作出其圖象，再將函數g（x）=f（x）-

1

2

x

的零點個數的問題，轉化為兩個函數交點個數問題，此一轉化使得本題的求解變得較容易，注意求出臨界點考查了數形結合思想．