Question

解答題（本題共10分．請寫出文字說明, 證明過程或演算步驟）：

已知是橢圓上一點，，是橢圓的兩焦點，且滿足

（Ⅰ）求橢圓方程；

（Ⅱ）設、是橢圓上任兩點，且直線、的斜率分別為、，若存在常數使，求直線的斜率.

 

Answer 1

【答案】

（I）；（II）。

【解析】

試題分析：(I)根據,可知a=2,所以再把點A的坐標代入橢圓方程求出b的值，求出橢圓的方程.

（II）設直線AC的方程：，由，得：

點C，同理求出D的坐標，再利用斜率公式即可證明CD的斜率為定值.

（I）所求橢圓方程…………………3分；

（II）設直線AC的方程：，由，得：

點C…………………………..5分；

同理 ………………………..6分；

 

……………………8分；

要使為常數， +（1-）=0，

得…………………………10分.

考點：橢圓的定義、標準方程，直線與橢圓的位置關系.

點評：橢圓上的點到兩焦點的距離之和為定值，也就是常數2a,再根據其它條件建立關于b的方程，求出b即可得到橢圓的標準方程.

在證明CD的斜率為定值時，關鍵是求出點C，D的坐標，需要用直線方程與橢圓方程聯立求解.