Question

【題目】已知f（x）=e ﹣ ，其中e為自然對數的底數．
（1）設g（x）=（x+1）f′（x）（其中f′（x）為f（x）的導函數），判斷g（x）在（﹣1，+∞）上的單調性；
（2）若F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4無零點，試確定正數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=e ﹣ ，

∴f′（x）= ﹣ ，

∴g（x）=（x+1）（ ﹣ ），

∴g′（x）= [（x+3） ﹣1]，

當x＞﹣1時，g′（x）＞0，

∴g（x）在（﹣1，+∞）上單調遞增

（2）解：由F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4知，F′（x）= （ ﹣g（x）），

由（1）知，g（x）在（﹣1，+∞）上單調遞增，且g（﹣1）=0 可知當x∈（﹣1，+∞）時，g（x）∈（0，+∞），

則F′（x）= （ ﹣g（x））有唯一零點，

設此零點為x=t，易知x∈（﹣1，t）時，F′（x）＞0，F（x）單調遞增；

x∈（t，+∞）時，F′（t）＜0．F（x）單調遞減．

知F（x）max=F（t）=ln（t+1）﹣af（t）+4，

其中a= ，

令G（x）=ln（x+1）﹣ +4，

則G′（x）= ，

易知f（x）＞0在（﹣1，+∞）上恒成立，

∴G′（x）＞0，G（x）在（﹣1，+∞）上單調遞增，且G（0）=0，

①當0＜a＜4時，g（t）= ＞ =g（0），

由g（x）在（﹣1，+∞）上單調遞增，知t＞0，則F（x）max=F（t）=G（t）＞G（0）=0，

由F（x）在（﹣1，t）上單調遞增，﹣1＜e﹣4﹣1＜0＜t，f（x）＞0，g（t）＞0在（﹣1，+∞）上均恒成立，

則F（e﹣4﹣1）=﹣af（e﹣4﹣1）＜0，

∴F（t）F（e﹣4﹣1）＜0

∴F（x）在（﹣1，t）上有零點，與條件不符；

②當a=4時，g（t）= = =g（0），由g（x）的單調性可知t=0，

則F（x）max=F（t）=G（t）=G（0）=0，此時F（x）有一個零點，與條件不符；

③當a＞4時，g（t）= ＜ =g（0），由g（x）的單調性知t＜0，

則F（x）max=F（t）=G（t）＜G（0）=0，此時F（x）沒有零點．

綜上所述，當F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4無零點時，正數a的取值范圍是a∈（4，+∞）

【解析】（1）對函數f（x）求導后知g（x），對g（x）求導后得到單調性．（2）利用導函數求得F（x）的單調性及最值，然后對a分情況討論，利用F（x）無零點分別求得a的取值范圍，再取并集即可．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．