Question

（2013•哈爾濱一模）選修4-1：幾何證明選講
如圖，AB是⊙O的直徑，弦BD，CA的延長線相交于點E，EF垂直BA的延長線于點F．求證：
（1）BE•DE+AC•CE=CE²；
（2）E，F，C，B四點共圓．

Answer 1

分析：（1）由割線定理可得EA•EC=BE•DE，進而得到結論；
（2）利用AB是⊙O的直徑，可得∠ECB=90°．因此CD=

1

2

EB．由EF⊥BF，可得FD=

1

2

BE．進而證明結論．

解答：證明：（1）由割線定理得EA•EC=BE•DE，
∴BE•DE+AC•CE=EA•CE+AC•CE=CE²，
∴BE•DE+AC•CE=CE²；
（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ECB=90°．∴CD=

1

2

EB．
∵EF⊥BF，∴FD=

1

2

BE．
∴E，F，C，B四點與點D等距離．
∴E，F，C，B四點共圓．

點評：熟練掌握割線定理和直角三角形斜邊的中線的性質及四點共圓的判定方法是解題的關鍵．