Question

已知函數f(x)=

x

lnx

，g（x）=x-mlnx．
（I）求函數f（x）的定義域和極值；
（II）求實數m的取值范圍，使得函數g（x）在（2，3）上恰好有兩個不同零點．

Answer 1

分析：（I）利用函數的性質，使f(x)=

x

lnx

的分母不為0，對數有意義，利用導數求其極值．
（II）函數的零點就是方程的根，轉化為f（x）的范圍，確定f（2）、f（3）的大小，確定m的范圍．
也可以在（2，3）內g（x）的極小值小于0，2和3的函數值大于0，求解即可．

解答：解：（I）f（x）的定義域是（0，1）∪（1，+∞），（2分）f′(x)=

lnx-1

ln2x

，f'（x）=0，得x=e，（4分）
列表

當x=e時，函數f（x）取極小值f（e）=e，沒有極大值；（6分）
（II）方法1：g（x）=0，即m=

x

lnx

=f(x)，
由于（I）知x∈[2，3]時，f（x）的最小值是e，（8分）
f(2)=

2

ln2

，f(3)=

3

ln3

，
∵

2

ln2

=

1

ln 6 8

＞

1

ln 6 9

=

3

ln3

，
∴f（2）＞f（3），（10分）
∴函數g（x）在（2，3）上恰好有兩個不同零點時，實數m的取值范圍是(e，

3

ln3

)．（12分）
方法2：當m≤0時，g（x）=x-mlnx在（2，3）上是單調遞增函數，函數g（x）在（2，3）上不可能有兩個不同零點（8分）
當m＞0時，g′(x)=

x-m

x

，g（x）在（0，m）上單調遞減，在（m，+∞）上單調遞增，
∴函數g（x）在（2，3）上不可能有兩個不同零點，∴m∈（2，3）（10分）
由

g(m)=m-mlnm＜0 g(2)=2-mln2＞0 g(3)=3-mln3＞0

，
以及

2

ln2

=

1

ln 6 8

＞

1

ln 6 9

=

3

ln3

，
得實數m的取值范圍是(e，

3

ln3

)．（12分）

點評：本題考查函數的定義域，零點定理的判定，導數求極值的方法，考查學生發現問題解決問題的能力，是中檔題．