Question

已知函數，，有下列4個命題：
①若，則的圖象關于直線對稱；
②與的圖象關于直線對稱；
③若為偶函數，且，則的圖象關于直線對稱；
④若為奇函數，且，則的圖象關于直線對稱.
其中正確命題的個數為                                          （     ）.

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

C

解：①令t=1+2x，可得2x=t-1，代入f（1+2x）=f（1-2x）得f（t ）=f（2-t）
由于|t-1|=|2-t-1|，故可知函數y=f（x）圖象關于直線x=1對稱
即y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，故①是真命題．
②由題設知y=f（2-x）=f[-（x-2）]
由于函數y=f（x）與y=f（-x）的圖象關于直線x=0對稱，
又y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖象可由函數y=f（x）與y=f（-x）的圖象右移動2個單位而得到，
∴y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖象關于直線x=2對稱，故②是真命題．
③f（x）為偶函數，且f（2+x）=-f（x），用-x換x得，f（2-x）=-f（-x）=-f（x）=f（2+x）
∴f（x）的圖象關于直線x=2對稱，故③是真命題．
④∵y=f（x）為奇函數，且f（x）=f（-x-2），用-x換x得，f（-x）=f（x-2），
∴y=f（x）的圖象關于直線x=-1對稱，故④是假命題．
故選C．