Question

已知函數f（x），當x＜0時，f（x）=x²+2x-1
（1）若f（x）為R上的奇函數，則函數在R上的解析式為？
（2）若f（x）為R上的偶函數，則函數在R上的解析式為？

Answer 1

分析：（1）由題意設x＞0利用已知的解析式求出f（-x）=x²-2x-1，再由f（x）=-f（-x），求出x＞0時的解析式，又因f（0）=0，最后用分段函數表示出f（x）的解析式；
（2）由題意設x＞0利用已知的解析式求出f（-x）=x²-2x-1，再由f（x）=f（-x），求出x＞0時的解析式，又因f（0）=f（-0）可放在任何一個范圍內，最后用分段函數表示出f（x）的解析式；

解答：解：（1）設x＞0，則-x＜0；
∵當x＜0時，f（x）=x²+2x-1，∴f（-x）=x²-2x-1，
∴f（x）為R上的奇函數，∴f（x）=-f（-x）=-x²+2x+1，
∴函數在R上的解析式f（x）=

-x2+2x+1，x＞0 0，x=0 x2+2x-1，x＜0

；
（2）設x＞0，則-x＜0；
∵當x＜0時，f（x）=x²+2x-1，∴f（-x）=x²-2x-1，
∴f（x）為R上的偶函數，∴f（x）=f（-x）=x²-2x-1，
且f（0）=f（-0）=-1，
∴函數在R上的解析式f（x）=

x2-2x-1，x≥0 x2+2x-1，x＜0

．

點評：本題的考點是利用函數的奇偶性求函數的解析式，利用f（x）和f（-x）的關系，把x的范圍轉化到已知的范圍內求對應的解析式，注意兩點：f（0）的情況，要用分段函數表示．