Question

如圖，已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，給出下列結論：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直線BC∥平面PAE；④∠PDA=45°；⑤直線PD與平面PAB所成角的余弦值為

10

4

．其中正確的有

①④⑤

（把所有正確的序號都填上）．

Answer 1

分析：①由PA⊥平面ABC，及正六邊形的性質易得：AE⊥平面PAB，所以AE⊥PB，①正確；②由PA⊥平面ABC，易得平面PAB⊥平面ABC，所以平面ABC⊥平面PBC不成立，②錯；③由正六邊形的性質得BC∥AD，但是AD與平面PAE相交，所以③錯；④由PA⊥平面ABC，可得PA⊥AD，又因為PA=2AB，所以∠PDA=45°，④正確；⑤由于DE∥AB，從而D到平面PAB的距離即為E到平面PAB的距離，利用直線與平面所成角的定義求出直線PD與平面PAB所成角的正弦值，再轉化成直線PD與平面PAB所成角的余弦值即可進行判斷．

解答：解：對于①、由PA⊥平面ABC，AE?平面ABC，得PA⊥AE，
又由正六邊形的性質得AE⊥AB，PA∩AB=A，得AE⊥平面PAB，又PB?平面PAB，
∴AE⊥PB，①正確；
對于②、又平面PAB⊥平面ABC，所以平面ABC⊥平面PBC不成立，②錯；
對于③、由正六邊形的性質得BC∥AD，又AD?平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直線BC∥平面PAE也不成立，③錯；
對于④、在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，∴④正確；
對于⑤、由于DE∥AB，∴D到平面PAB的距離即為E到平面PAB的距離，即E到直線PA的距離，即EA，EA=

3

AB，
在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴PD=2

2

AB，
∴直線PD與平面PAB所成角的正弦值為

3 AB

2 2 AB

=

6

4

，
∴直線PD與平面PAB所成角的余弦值為

1-( 6 4 )2

=

10

4

，∴⑤正確．
故答案為：①④⑤．

點評：本小題考查空間中的線面關系，正六邊形的性質等基礎知識，考查空間想象能力和思維能力，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．