Question

已知定點A（1，0）和定直線x=-1上的兩個動點E、F，滿足

AE

⊥

AF

，動點P滿足

EP

∥

OA

，

FO

∥

OP

（其中O為坐標原點）．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）過點B（0，2）的直線l與（1）中軌跡C相交于兩個不同的點M、N，若

AM

•

AN

＜0，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）用坐標表示出

AE

、

AF

的坐標，利用

AE

⊥

AF

即得動點P的軌跡方程；
（2）設出直線的方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理及

AM

•

AN

＜0，利用數量積公式，即可求得直線l的斜率的取值范圍．

解答：解：（1）設P（x，y），E（-1，y₁），F（-1，y₂）（y₁、y₂均不為0）
由

EP

∥

OA

得y₁=y，即E（-1，y）
由FO∥OP得 y2=-

y

x

，即F（-1，-

y

x

）
∵

AE

⊥

AF

，∴

AE

•

AF

=0
∴（-2，y₁）•（2，y₂）=0
∴y₁y₂=-4，∴y²=4x（x≠0）
∴動點P的軌跡C的方程為y²=4x（x≠0）
（2）設直線l的方程y=kx+2（k≠0），M（

y12

4

，y1），N（

y22

4

，y2）
聯立得

y=kx+2 y2=4x

消去x得ky²-4y+8=0
∴ y1+y2=

4

k

， y1y2=

8

k

，且△=16-32k＞0即k＜

1

2

．
∴

AM

•

AN

=（

y12

4

-1，y1）•（

y22

4

-1，y2）=（

y12

4

-1）•（

y22

4

-1）+y₁y₂
=

y12y22

16

-

1

4

(y12+y22)+1=

4

k2

-

1

4

(

16

k2

-

16

k

)+

8

k

+1=

k+12

k

     
∵

AM

•

AN

＜0，∴-12＜k＜0，滿足k＜

1

2

，
∴-12＜k＜0．

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，考查韋達定理，考查學生的計算能力，屬于中檔題．