Question

對1個單位質量的含污物體進行清洗,清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為:)為0.8,要求洗完后的清潔度是0.99.有兩種方案可供選擇,方案甲:一次清洗;方案乙:兩次清洗.該物體初次清洗后受殘留水等因素影響,其質量變為(1≤a≤3).設用單位質量的水初次清洗后的清潔度是(),用質量的水第二次清洗后的清潔度是,其中是該物體初次清洗后的清潔度.
(Ⅰ)分別求出方案甲以及時方案乙的用水量,并比較哪一種方案用水量較少;
(Ⅱ)若采用方案乙,當為某定值時,如何安排初次與第二次清洗的用水量,使總用水量最少?并討論取不同數值時對最少總用水量多少的影響.

Answer 1

(Ⅰ)兩種方案的用水量分別為19與4+3.
因為當,故方案乙的用水量較少.
（II）時總用水量最少, 此時第一次與第二次用水量分別為,   最少總用水量是.
當,故T()是增函數(也可以用二次函數的單調性判斷).這說明,隨著的值的最少總用水量, 最少總用水量最少總用水量.

(Ⅰ)設方案甲與方案乙的用水量分別為x與z,由題設有=0.99,解得x=19.
由得方案乙初次用水量為3, 第二次用水量y滿足方程:
解得y=4,故z=4+3.即兩種方案的用水量分別為19與4+3.
因為當,故方案乙的用水量較少.
（II）設初次與第二次清洗的用水量分別為與，類似（I）得
，（*）
于是+
當為定值時,,
當且僅當時等號成立.此時

將代入（*）式得
故時總用水量最少, 此時第一次與第二次用水量分別為,   最少總用水量是.
當,故T()是增函數(也可以用二次函數的單調性判斷).這說明,隨著的值的最少總用水量, 最少總用水量最少總用水量.