Question

設(shè)函數(shù)．

       （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；

       （Ⅱ）已知，若函數(shù)的圖象總在直線的下方，求的取值范圍；

       （Ⅲ）記為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．若，試問：在區(qū)間上是否存在（）個(gè)正數(shù)…，使得成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，，

所以切線的斜率為．…………………………………………2分

又，所以切點(diǎn)為．

故所求的切線方程為：即．……………………4分

（Ⅱ），，．…………………6分

      令，則．

       當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

      故為函數(shù)的唯一極大值點(diǎn)，

所以的最大值為=．……………………………8分

由題意有，解得．

     所以的取值范圍為．…………………………………………10分

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，．    記，其中．

∵當(dāng)時(shí)，，∴在上為增函數(shù)，

即在上為增函數(shù)．…………………………………………12分

又，

所以，對(duì)任意的，總有．

所以，

又因?yàn)?sub>，所以．

故在區(qū)間上不存在使得成立的（）個(gè)正數(shù)…．………………………14分