Question

【題目】已知雙曲線的左、右焦點分別為，圓與雙曲線在第一象限內的交點為M，若．則該雙曲線的離心率為

A. 2B. 3C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

本題首先可以通過題意畫出圖像并過點作垂線交于點，然后通過圓與雙曲線的相關性質判斷出三角形的形狀并求出高的長度，的長度即點縱坐標，然后將點縱坐標帶入圓的方程即可得出點坐標，最后將點坐標帶入雙曲線方程即可得出結果。

根據題意可畫出以上圖像，過點作垂線并交于點，

因為，在雙曲線上，

所以根據雙曲線性質可知，，即，，

因為圓的半徑為，是圓的半徑，所以，

因為，，，，

所以，三角形是直角三角形，

因為，所以，，即點縱坐標為，

將點縱坐標帶入圓的方程中可得，解得，，

將點坐標帶入雙曲線中可得，

化簡得，，，，故選D。