Question

20.設y=f（x）是定義在區間［－1，1］上的函數，且滿足條件：

（ⅰ）f（－1）=f（1）=0;

（ⅱ）對任意的u，v∈［－1，1］，都有|f（u）－f（v）|≤|u－v|.

（Ⅰ）證明：對任意的x∈［－1，1］，都有x－1≤f（x）≤1－x;

（Ⅱ）證明：對任意的u,v∈［－1，1］,都有|f（u）－f（v）|≤1；

（Ⅲ）在區間［－1，1］上是否存在滿足題設條件的函數y=f（x），且使得

若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由.

Answer 1

20.

（Ⅰ）證明：由題設條件可知，當x∈［－1,1］時，有|f（x）|=|f（x）－f（1）|≤|x－1|=1－x,

即x－1≤f（x）≤1－x.

 

（Ⅱ）證法一：對任意的u，v∈［－1,1］,

當|u－v|≤1時，有|f（u）－f（v）|≤|u－v|≤1.

當|u－v|＞1時，u·v＜0.不妨設u＜0，

則v＞0且v－u＞1.

所以，|f（u）－f（v）|≤|f（u）－f（－1）|+|f（v）－f（1）|≤|u+1|+|v－1|=1+u+1－v

=2－（v－u）＜1.

綜上可知，對任意的u,v∈［－1,1］,都有|f（u）－f（v）|≤1.

證法二：由（Ⅰ）可得，

當x∈［0,1］時，|f（x）|≤1－x.

當x∈［－1,0］時，|f（x）|=|f（x）－f（－1）|≤1+x=1－|x|,

所以，當x∈［－1,1］時，|f（x）|≤1－|x|

因此，對任意的u,v∈［－1,1］,

當|u－v|≤1時，|f（u）－f（v）|≤|u－v|≤1.

當|u－v|＞1時，有u·v＜0且1＜|u－v|=|u|+|v|≤2,所以，|f（u）－f（v）|≤|f（u）|+|f（v）|

≤1－|u|+1－|v|=2－（|u|+|v|）≤1.

綜上可知，對任意的u,v∈［－1,1］，都有|f（u）－f（v）|≤1.

 

（Ⅲ）答：滿足所述條件的函數不存在理由如下：假設存在函數f（x）滿足條件，

則由|f（u）－f（v）|=|u－v|，u,v∈［,1］，得

|f（）－f（1）|=|－1|=.

又f（1）=0,所以|f（）|=.                                                     ①

又因為f（x）為奇函數，所以f（0）=0.

由條件|f（u）－f（v）|＜|u－v|,u,v∈［0, ］,得|f（）|=|f（）－f（0）|＜.                  ②

①與②矛盾，所以假設不成立，即這樣的函數不存在.