Question

【題目】在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC..

(1)求角A的大小；

(2)若sinB＋sinC＝，試判斷△ABC的形狀.

Answer 1

【答案】（1）；（2）等邊三角形.

【解析】

（1）利用余弦定理表示出cosA，然后根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式，整理后代入表示出的cosA中，化簡(jiǎn)后求出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；

（2）由A為60°，利用三角形的內(nèi)角和定理得到B+C的度數(shù)，用B表示出C，代入已知的sinB+sinC=中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由B的范圍，求出這個(gè)角的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值求出B為60°，可得出三角形ABC三個(gè)角相等，都為60°，則三角形ABC為等邊三角形．

(1)由2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，

∴cosA＝,∴A＝60°.

(2)∵A＋B＋C＝180°，

∴B＋C＝180°－60°＝120°，

由sinB＋sinC＝，得sinB＋sin(120°－B)＝，

∴sinB＋sin120°cosB－cos120°sinB＝，

∴sinB＋cosB＝，即sin(B＋30°)＝1，

∵0°＜B＜120°，∴30°＜B＋30°＜150°，

∴B＋30°＝90°，B＝60°，

∴A＝B＝C＝60°，△ABC為等邊三角形.