Question

已知函數f（x）=sin（ωx-

π

6

）（ω＞0）在（0，

4π

3

]上單調遞增，在（

4π

3

，2π]上單調遞減，
（1）求ω的值；
（2）當x∈[π，2π]時，不等式m-3≤f（x）≤m+3恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：正弦函數的圖象

專題：計算題,三角函數的圖像與性質

分析：（1）由x=

4π

3

時f（x）取得最大值1，從而有8ω=12K+4，k∈z，又由題意

T

2

≥

4π

3

且

T

2

≥

2π

3

，可得0＜ω≤

3

4

，從而可求ω的值；
（2）令t=

1

2

x-

π

6

，可求f（x）的值域為[

1

2

，1]，由題意可得

m-3≤ 1 2 1≤m+3

，從而解得實數m的取值范圍．

解答： 解：（1）由已知條件知，x=

4π

3

時f（x）取得最大值1，從而有ω×

4π

3

-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，即8ω=12K+4，k∈z…（3分）
又由題意可得該函數的最小正周期T滿足：

T

2

≥

4π

3

且

T

2

≥

2π

3

，
于是有T≥

8π

3

，0＜ω≤

3

4

，滿足0＜12K+4≤6的正整數k的值為0，
于是ω=

1

2

…（6分）
（2）令t=

1

2

x-

π

6

，因為x∈[π，2π]，得t∈[

π

3

，

5π

6

]，
由y=sint，t∈[

π

3

，

5π

6

]得y∈[

1

2

，1]，即f（x）的值域為[

1

2

，1]，
由于x∈[π，2π]時，不等式m-3≤f（x）≤m+3，恒成立，
故有

m-3≤ 1 2 1≤m+3

，
解得-2≤m≤

7

2

，
即m的取值范圍是[-2，

7

2

]…（12分）

點評：本題主要考查了正弦函數的周期性和復合函數的值域，考查了不等式的解法，屬于中檔題．