Question

已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F（1，0）的距離減去它到y軸距離的差都是1．
（Ⅰ）求曲線C的方程
（Ⅱ）是否存在正數m，對于過點M（m，0）且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有

FA

•

FB

＜0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設P（x，y）是曲線C上任意一點，然后根據等量關系列方程整理即可．
（Ⅱ）首先由于過點M（m，0）的直線與開口向右的拋物線有兩個交點A、B，則設該直線的方程為x=ty+m（包括無斜率的直線）；然后與拋物線方程聯立方程組，進而通過消元轉化為一元二次方程；再根據韋達定理及向量的數量積公式，實現

FA

•

FB

＜0的等價轉化；最后通過m、t的不等式求出m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設P（x，y）是曲線C上任意一點，那么點P（x，y）滿足：

(x-1)2+y2

-x=1(x＞0)
化簡得y²=4x（x＞0）．
（Ⅱ）設過點M（m，0）（m＞0）的直線l與曲線C的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
設l的方程為x=ty+m，由

x=ty+m y2=4x

得y²-4ty-4m=0，△=16（t²+m）＞0，
于是

y1+y2=4t y1y2=-4m

①
又

FA

=(x1-1，y1)，

FB

=(x2-1，y2)．

FA

•

FB

＜0?（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂＜0②
又x=

y2

4

，于是不等式②等價于

y12

4

•

y22

4

+y1y2-(

y12

4

+

y22

4

)+1＜0?

(y1y2)2

16

+y1y2-

1

4

[(y1+y2)2-2y1y2]+1＜0③
由①式，不等式③等價于m²-6m+1＜4t²④
對任意實數t，4t²的最小值為0，所以不等式④對于一切t成立等價于m²-6m+1＜0，解得3-2

2

＜m＜3+2

2

．
由此可知，存在正數m，對于過點M（m，0）且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有

FA

•

FB

＜0，且m的取值范圍(3-2

2

，3+2

2

)．

點評：本題綜合考查向量知識、直線與拋物線的相交問題及代數運算能力．