Question

如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為A₁D₁和CC₁的中點．
（1）求證：EF∥平面ACD₁；
（2）求面EFB與底面ABCD所成的銳二面角余弦值的大小．

Answer 1

【答案】分析：如圖分別以DA、DC、DD₁所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D-xyz，先寫出各點坐標：
（1）取AD₁中點G，則G（1，0，1），=（1，-2，1），又=（-1，2，-1），證明與共線即可；
（2）設面EFB的一個法向量，再取底面ABCD的一個法向量，兩個法向量的夾角就是所成的銳二面角的大小，從而求解．
解答：解：如圖分別以DA、DC、DD₁所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D-xyz，由已知得D（0，0，0）、A（2，0，0）、B（2，2，0）、
C（0，2，0）、B₁（2，2，2）、D₁（0，0，2）、E（1，0，2）、F（0，2，1）．
（1）取AD₁中點G，則G（1，0，1），=（1，-2，1），又=（-1，2，-1），由，
∴與共線．
從而EF∥CG，
∵CG?平面ACD₁，EF?平面ACD₁，
∴EF∥平面ACD₁．（6分）
（2）設面EFB的一個法向量，
由得，
故可取，（8分）
取底面ABCD的一個法向量，
由，
所成的銳二面角余弦值的大小為．（12分）
點評：此題考查直線與平面平行的判斷及平面與平面垂直的夾角問題，因為此題是正方體，圖形比較特殊，利用向量法求解會簡單些，此類立體幾何題是每年高考必考的一道大題，平時要注意這方面的題．