Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+k=0（k＜5）；
（I）若k=1，圓C內有一點P₀（-2，3），經過P₀的直線l與圓C交于A、B兩點，當弦AB恰被P₀平分時，求直線l的方程；
（II）若圓C與直線x+y+1=0交于P、Q兩點，是否存在實數k，使OP⊥OQ（O為原點）？如果存在，求出k的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）因為弦AB被點P₀平分，先求出OP₀的斜率，然后根據垂徑定理得到OP₀⊥AB，由垂直得到兩條直線斜率乘積為-1，求出直線AB的斜率，然后寫出直線的方程．
（II）設出P，Q的坐標，根據OP⊥OQ可推斷出

OP

•

OQ

=-1，把P，Q坐標代入求得關系式，把直線方程與圓的方程聯立消去y，利用韋達定理表示出x_p+x_Q和x_p•x_Q，利用直線方程求得y_p•y_Q的表達式，最后聯立方程求得m，利用判別式驗證成立，答案可得．

解答：解：（1）∵P0為AB的中點，OA=OB=r，∴OP₀⊥AB
又k=1時，C（-1，2），∴kOP0=-2，∴k_AB=1，∴直線AB的方程為x-y+5=0
（2）設點P（x_p，y_P），Q（x_Q，y_Q）
當OP⊥OQ時，Kop•K_OQ=-1⇒

OP

•

OQ

=-1⇒x_px_Q+y_py_Q=0
又直線與圓相交于P、Q⇒

x+y+1=0 x2+y2+2x-4y+k=0

⇒P、Q坐標是方程2y²-4y+k-1=0的兩根有：y_P+y_Q=2，yPyQ=

k-1

2

從而有2y_Py_Q+y_Q+y_P=0，∴k=-2
且檢驗△＞O成立，故存在k=-2，使OP⊥OQ

點評：考查學生會根據傾斜角求出直線的斜率，綜合運用直線與圓方程的能力，會根據一個點和斜率寫出直線的方程．
本題主要考查了圓的方程的綜合運用．本題的最后對求得的結果進行驗證是不可或缺的步驟，保證了結果的正確性．