Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）若函數(shù)在處的切線平行于直線，求實數(shù)a的值；

（Ⅱ）判斷函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若在上存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）時， 在無零點； 時， 在恰有一個零點； 時， 在有兩個零點（3）或

【解析】試題分析：（1）利用導數(shù)的幾何意義，得， ；（2）函數(shù)的零點個數(shù)等價于兩個函數(shù)的交點的個數(shù)，即與的交點個數(shù)；（3）不等式能成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

試題解析：

（Ⅰ）,函數(shù)在處的切線平行于直線

..

（Ⅱ）令 ， 得

記 ， 由此可知

在上遞減，在上遞增，

且 時

故時， 在無零點

時， 在恰有一個零點

時， 在有兩個零點

（Ⅲ）在上存在一點,使得成立等價于函數(shù)在上的最小值小于零.

,

①當時,即時, 在上單調(diào)遞減,所以的最小值為,由可得,；

②當時,即時, 在上單調(diào)遞增,所以的最小值為,由可得；

③當時,即時,可得的最小值為此時, 不成立.

綜上所述:可得所求的范圍是或