Question

設數列a_n的前n項的和為S_n，a₁=1，2S_n=（n+1）a_n+1-1
（1）求數列a_n的通項公式；
（3）求證：數列{2

2Sn

n

}是等比數列；
（3）設數列b_n是等比數列且b₁=2，a₁，a₃，b₂成等比數列，T_m為b_n的前m項的和，Pm=(

4Sm

m

-3)•2m-1-1，試比較T_m與P_m的大小，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）當n≥2時，2a_n=2S_n-2S_n-1=（n+1）a_n+1-1-（na_n-1），即

an+1

an

=

n+2

n+1

，而當n=1時，2S₁=2a₂-1，an=

an

an-1

•

an-1

an-2

••

a3

a2

•a2=

n+1

n

•

n

n-1

••

4

3

•

3

2

=

n+1

2

，當n=1時，a₁=1符合上式，故an=

n+1

2

．
（2）由an+1=

n+2

2

，知2Sn=(n+1)an+1-1=

(n+1)(n+2)

2

-1，2Sn=

n2+3n

2

，

2Sn

n

=

n+3

2

，

2Sn

n

-

2Sn-1

n-1

=

n+3

2

-

n+2

2

=

1

2

，由此能夠證明{2

2Sn

n

}是以2為首項

2

為公比的等比數列．
（3）由a₃=2，a₁，a₃，b₂成等比數列，知b₂=4，

b2

b1

=2Tm=

2(1-2m)

1-2

=2m+1-2，由此入手能夠得到當1≤m≤3且n∈N^*時，P_m＜T_m，當m≥4且n∈N^*時，P_m＞T_m．

解答：解：（1）當n≥2時，2a_n=2S_n-2S_n-1=（n+1）a_n+1-1-（na_n-1）
即（n+1）a_n+1=（n+2）a_n即

an+1

an

=

n+2

n+1

（2分）
而當n=1時，2S₁=2a₂-1，
∴a2=

2a1+1

2

=

3

2

，（3分）
∴an=

an

an-1

•

an-1

an-2

••

a3

a2

•a2=

n+1

n

•

n

n-1

••

4

3

•

3

2

=

n+1

2

而當n=1時，a₁=1符合上式，綜上an=

n+1

2

（4分）
（2）證明：由（1）an+1=

n+2

2

，
∴2Sn=(n+1)an+1-1=

(n+1)(n+2)

2

-1
∴2Sn=

n2+3n

2

（6分）
∴

2Sn

n

=

n+3

2

∴

2Sn

n

-

2Sn-1

n-1

=

n+3

2

-

n+2

2

=

1

2

∴當n≥2時

2 2Sn n

2 2Sn-1 n-1

=2

1

2

=

2

∴{2

2Sn

n

}是以2為首項

2

為公比的等比數列..（8分）
（3）由（1）a₃=2
∵a₁，a₃，b₂成等比數列∴a₁b₂=a₃²
∴b₂=4
∴

b2

b1

=2Tm=

2(1-2m)

1-2

=2m+1-2（9分）
而由（2）

2Sn

n

=2+(n-1)•

1

2

=

1

2

n+

3

2

∴Pm=(

4Sm

m

-3)•2m-1-1=[2(

1

2

m+

3

2

)-3]•2m-1-1=m•2m-1-1．（10分）
∴P_m-T_m=m•2^m-1-1-（2^m+1-2）=（m-4）•2^m-1+1
當1≤m≤3且n∈N^*時，P_m＜T_m
當m≥4且n∈N^*時，P_m＞T_m（12分）

點評：本題考查數列的通項公式的求法、等比數列的證明和數列前m項和的比較，解題時要認真審題，注意挖掘隱含條件．