Question

給出下列三個命題
（1）若tanA?tanB＞1，則△ABC一定是鈍角三角形；
（2）若sin2A+sin2B=sin2C，則△ABC一定是直角三角形；
（3）若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，則△ABC一定是等邊三角形．
以上正確命題的個數有（ ）
A．0個
B．1個
C．2個
D．3個

Answer 1

【答案】分析：通過舉反例可得（1）不正確，利用和差化積公式可得△ABC一定是等腰三角形，不能推出△ABC一定是直角三角形，
故（2）不正確．對于（3），由題意可得cos（A-B）=cos（B-C）=cos（C-A）=1，可得A=B=C=，故△ABC一定是等邊三角形，得到（3）正確．
解答：解：（1）不正確，如等邊△ABC中，A=B=，盡管滿足tanA?tanB＞1，但△ABC不是鈍角三角形．
（2）若sin2A+sin2B=sin2C，則有2sin（A+B）cos（A-B）=2sin（A+B），
 再由-π＜A-B＜π 可得，cos（A-B）=1，A-B=0．
故△ABC一定是等腰三角形，不能推出△ABC一定是直角三角形，故（2）不正確．
（3）△ABC中，若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，
則由-1≤cos（A-B）≤1，-1≤cos（B-C）≤1，-1≤cos（C-A）≤1 可得，
cos（A-B）=cos（B-C）=cos（C-A）=1，
∴A-B=B-C=C-A=0，∴A=B=C=，
故△ABC一定是等邊三角形，故（3）正確．
故選A．
點評：本題主要考查三角形的內角和公式，判斷三角形的形狀的方法，通過舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效
的方法，屬于中檔題．