Question

2010年上海世博會(huì)組委會(huì)為保證游客參觀的順利進(jìn)行，對(duì)每天在各時(shí)間段進(jìn)入園區(qū)和離開園區(qū)的人數(shù)（以百人為計(jì)數(shù)單位）作了一個(gè)模擬預(yù)測(cè)．為了方便起見，以10分鐘為一個(gè)計(jì)算單位，上午9點(diǎn)10分作為第一個(gè)計(jì)數(shù)人數(shù)的時(shí)間，即n=1；9點(diǎn)20分作為第二個(gè)計(jì)數(shù)人數(shù)的時(shí)間，即n=2；依此類推…，把一天內(nèi)從上午9點(diǎn)到晚上24點(diǎn)分成了90個(gè)計(jì)數(shù)單位．第n個(gè)時(shí)刻進(jìn)入園區(qū)的人數(shù)f（n）和時(shí)間n（n∈N^*）滿足以下關(guān)系：
f(n)=

36 (1≤n≤24) 36•3 n-24 12 (25≤n≤36) -3n+216 (37≤n≤72) 0 (73≤n≤90)

，n∈N^*
第n個(gè)時(shí)刻離開園區(qū)的人數(shù)g（n）和時(shí)間n（n∈N^*）滿足以下關(guān)系：
g(n)=

0 (1≤n≤24) 5n-120 (25≤n≤72) 50 (73≤n≤90)

，n∈N^*．
（Ⅰ）試計(jì)算在當(dāng)天下午3點(diǎn)整（即15點(diǎn)整）時(shí)，世博園區(qū)內(nèi)共有游客多少百人？（提示：

12	3

取1.1，結(jié)果僅保留整數(shù)）
（Ⅱ）問：當(dāng)天什么時(shí)刻世博園區(qū)內(nèi)游客總?cè)藬?shù)最多？

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲計(jì)算在當(dāng)天下午3點(diǎn)整（即15點(diǎn)整）時(shí)，世博園區(qū)內(nèi)共有游客多少百人，先求出下午3點(diǎn)整進(jìn)入的游客總?cè)藬?shù)和離開的游客總?cè)藬?shù)，最后求出它們的差即可；
（Ⅱ）經(jīng)分析知，只有當(dāng)當(dāng)37≤n≤72時(shí)，世博園區(qū)內(nèi)游客總?cè)藬?shù)才可能最多，在此時(shí)間段內(nèi)，令-3n+216=5n-120得到的n值即為所求．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)0≤n≤24且n∈N^*時(shí)，f（n）=36，當(dāng)25≤n≤36且n∈N^*時(shí)，f(n)=36•3

n-24

12

所以S₃₆=[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（24）]+…+[f（25）+f（26）+…+f（36）]
=36×24+36×[

12 3 ( 12 3 12-1)

12 3 -1

]
=864+792=1656；（2分）
另一方面，已經(jīng)離開的游客總?cè)藬?shù)是：T₁₂=g（25）+g（26）+…+g（36）=12×5+

12×11

2

×5=390；（4分）
所以S=S₃₆-T₁₂=1656-390=1266（百人）
故當(dāng)天下午3點(diǎn)整（即15點(diǎn)整）時(shí)，世博園區(qū)內(nèi)共有游客1266百人．（6分）

（Ⅱ）當(dāng)f（n）-g（n）≥0時(shí)園內(nèi)游客人數(shù)遞增；當(dāng)f（n）-g（n）＜0時(shí)園內(nèi)游客人數(shù)遞減．
（i）當(dāng)1≤n≤24時(shí)，園區(qū)人數(shù)越來越多，人數(shù)不是最多的時(shí)間；（8分）
（ii）當(dāng)25≤n≤36時(shí)，令5n-120≤36，得出n≤31，
即當(dāng)25≤n≤31時(shí)，進(jìn)入園區(qū)人數(shù)多于離開人數(shù)，總?cè)藬?shù)越來越多；（10分）
（iii）當(dāng)32≤n≤36時(shí)，36•3

n-24

12

＞5n-120，進(jìn)入園區(qū)人數(shù)多于離開人數(shù)，
總?cè)藬?shù)越來越多；（12分）
（Ⅳ）當(dāng)37≤n≤72時(shí)，令-3n+216=5n-120時(shí)，n=42，
即在下午4點(diǎn)整時(shí)，園區(qū)人數(shù)達(dá)到最多．
此后離開人數(shù)越來越多，故園區(qū)內(nèi)人數(shù)最多的時(shí)間是下午4點(diǎn)整．（14分）．
答：（Ⅰ）當(dāng)天下午3點(diǎn)整（即15點(diǎn)整）時(shí)，世博園區(qū)內(nèi)共有游客1266百人；
（Ⅱ）在下午4點(diǎn)整時(shí)，園區(qū)人數(shù)達(dá)到最多．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的應(yīng)用問題、指數(shù)函數(shù)及其不等式等知識(shí)，屬于中檔題．