Question

【題目】如圖，正四面體ABCD的頂點(diǎn)C在平面α內(nèi)，且直線BC與平面α所成角為15°，頂點(diǎn)B在平面α上的射影為點(diǎn)O，當(dāng)頂點(diǎn)A與點(diǎn)O的距離最大時(shí)，直線CD與平面α所成角的正弦值為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：當(dāng)四邊形ABOC為平面四邊形時(shí)，點(diǎn)A到點(diǎn)O的距離最大．
此時(shí)平面ABOC⊥平面α，過D作DN⊥平面ABOC，垂足為N，
則N為正三角形ABC的中心．
設(shè)正四面體的邊長為1，則CN= CP= ，
∵∠BCO=15°，∠BCP=30°，∴∠OCN=45°，
∴N到平面α的距離d= = ．
過D作DM⊥平面α，垂足為M，則DM=d= ，
∴直線CD與平面α所成角的正弦值為 = ．
故答案為：

當(dāng)A，B，O，C四點(diǎn)共面時(shí)，|OA|最大，過D作平面ABOC的垂線DN，則垂足為△ABC的中心，求出N到平面α的距離d，則直線CD與平面α所成角的正弦值為 ．