Question

（文）本題共有3個小題，第1、2小題滿分各5分，第3小題滿分7分．第3小題根據不同思維層次表現予以不同評分．
對于數列{a_n}
（1）當{a_n}滿足a_n+1-a_n=d（常數）且（常數），證明：{a_n}為非零常數列．
（2）當{a_n}滿足a_n+1²-a_n²=d'（常數）且（常數），判斷{a_n}是否為非零常數列，并說明理由．
（3）對（1）、（2）等式中的指數進行推廣，寫出推廣后的一個正確結論（不用說明理由）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知，結合等差數列、等比數列的通項公式，建立q，d的關系，
（法一）證出d=0，，并說明項不為0即可．
（法二）證出q=1，并說明項不為0即可
（2）由（1）證明的結論知：{a_n²}為非零常數列，可舉反例說明{a_n}是否為非零常數列
（3）指數由1，2進行推廣到一般 時，由（1）代表了指數為奇數、且命題為真命題的情形，（2）代表了指數為偶數，且命題為真命題的情形 的情形，可據這兩式寫出正確的結論．
解答：解：（1）（法一）⇒qa_n-a_n=d⇒（q-1）a_n=d
當q=1時，∵a_n≠0，所以d=0；
當q≠1時，是一常數，矛盾，所以{a_n}為非零常數列； （5分）
（法二）設a_n=a₁+（n-1）d，則有：，
即a₁+nd=（a₁q-qd）+qdn（2分）
所以，解得．由此可知數列{a_n}為非零常數列； （5分）
（2）記a_n²=b_n，由（1）證明的結論知：{a_n²}為非零常數列．（2分）
顯然，{a_n²}為非零常數列時，{a_n}不一定為非零常數列，如：非常數數列a_n=（-p）ⁿ（p為大于0的正常數）和常數列a_n=p（p為非零常數）均滿足題意要求．（5分）
（3）若{a_n}滿足a_n+1^m-a_n^m=d'（常數）且（常數），則當m為奇數時，{a_n}必為非零常數列；當m為偶數時，{a_n}不一定為非零常數列．
或者：設a_n^m=a₁^m+（n-1）d，即a_n^m=A+Bn，則，即對一切n∈N^*均為常數，則必有B=0，即有a_n^m=A，當m為奇數時，，當m為偶數時，或者.3°{a_n}滿足a_n+1^m-a_n^m=d'（常數）且（常數），且m、l為整數，
當m、l均為奇數時，{a_n}必為非零常數列；否則{a_n}不一定為常數列．
事實上，條件（正常數）可以轉化為（常數），整個問題轉化為2°，結論顯然成立．（結論5分）
或者：設a_n^m=a₁^m+（n-1）d，即a_n^m=A+Bn，當m為奇數時，有，則，即對一切n∈N^*均為常數，則必有B=0，即有a_n^m=A，則，當m為偶數時，如反例：a_n=（-1）ⁿn∈N^*，它既滿足m次方后是等差數列，又是l（不管l為奇數還是偶數）次方后成等比數列，但它不為常數列.4°{a_n}滿足a_n+1^m-a_n^m=d'（常數）且（常數），m、l為有理數，q′＞0，則{a_n}必為非零常數列；否則{a_n}不一定為常數列．
證明過程同3°（結論6分）5°{a_n}滿足a_n+1^m-a_n^m=d'（常數）且（常數），且m、l為實數，q′＞0，{a_n}是不等于1的正數數列，則{a_n}必為非零且不等于1的常數列；否則{a_n}不一定為常數列．
事實上，當q′＞0，m、l為實數時，條件同樣可以轉化為，記a_n^m=b_n，由第（1）題的結論知：{b_n}必為不等于1的正常數數列，也即{a_n^m}為不等于1的正常數數列，，從而{a_n}也是不等于1的正常數數列．
（結論7分）
點評：本題考查歸納推理，借用了數列的形式．用到了等差、等比數列的定義、判斷，有理數指數冪的運算法則等知識．