Question

【題目】各項均為正數的數列{bn}的前n項和為Sn ， 且對任意正整數n，都有2Sn=bn（bn+1）．
（1）求數列{bn}的通項公式；
（2）如果等比數列{an}共有2015項，其首項與公比均為2，在數列{an}的每相鄰兩項ak與ak+1之間插入k個（﹣1）kbk（k∈N*）后，得到一個新的數列{cn}．求數列{cn}中所有項的和；
（3）如果存在n∈N* ， 使不等式 成立，求實數λ的范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n=1時，由2S1=b1（b1+1）得b1=1，

當n≥2時，由2Sn=bn（bn+1），2Sn﹣1=bn﹣1（bn﹣1+1）得（bn+bn﹣1）（bn﹣bn﹣1）=bn+bn﹣1

因數列{bn}的各項均為正數，所以bn﹣bn﹣1=1，

所以數列{bn}是首項與公差均為1的等差數列，

所以數列{bn}的通項公式為bn=n．

（2）解：數列{an}的通項公式為 ，

數列{cn}共有2015+1+2+…+2014=1008×2015項，

其所有項的和為S1008×2015=（2+22+…+22015）+（﹣1+22﹣32+42﹣…20132+20142）

=2（22015﹣1）+[3+7+…+4027]=22016﹣2+ ×1007

=22016+2015×1007﹣2=22016+2029103

（3）解：由 ，

得 ，

記

因為 ，當 取等號，所以 取不到 ，

當n=3時， 的最小值為 （n∈N*）遞減，

的最大值為B1=6，

所以如果存在n∈N*，使不等式 成立

實數λ應滿足A3≤λ≤B1，即實數λ的范圍應為

【解析】
【考點精析】關于本題考查的數列的前n項和，需要了解數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能得出正確答案．