Question

已知圓C的方程為x²+y²-2x+ay+1=0，且圓心在直線2x-y-1=0．
（1）求圓C的標準方程．
（2）若P點坐標為（2，3），求圓C的過P點的切線方程．

Answer 1

分析：（1）將圓C方程化為標準方程，表示出圓心坐標，將圓心坐標代入直線2x-y-1=0中，求出a的值，即可確定出圓C的標準方程；
（2）判斷P在圓C外，顯然直線x=2滿足題意；當切線方程斜率存在時，設斜率為k，表示出此切線方程，由直線與圓相切時，圓心到切線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出此時切線的方程，綜上，得到所有滿足題意的切線方程．

解答：解：（1）將圓C化為方程得：（x-1）²+（y+

a

2

）²=

a2

4

，
∴圓心坐標為（1，-

a

2

），半徑r=

|a|

2

，
∵圓心在直線2x-y-1=0上，
∴2+

a

2

-1=0，
解得：a=-2，
則圓C標準方程為（x-1）²+（y-1）²=1；
（2）由P（2，3）在圓C外，顯然直線x=2為過P點的圓C切線方程；
當過P點的切線方程斜率存在，設斜率為k，
∴此切線方程為y-3=k（x-2），即kx-y+3-2k=0，
∴圓心到切線的距離d=r，即

|k-1+3-2k|

k2+12

=1，
解得：k=

3

4

，
此時切線方程為3x-4y+6=0，
綜上，滿足題意的切線方程為x=2或3x-4y+6=0．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：圓的標準方程，以及點到直線的距離公式，當直線與圓相切時，圓心到切線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質是解本題的關鍵．