Question

數列{a_n}的前n項和為S_n．已知an+1+(-1)nan=2n-1(n∈N*)．
（Ⅰ）若a₁=1，求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）若a₁=a（a為常數），求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）設Tn=

S4n-55

(n- 5 2 )2

(n∈N*)，求數列{T_n}的最大項．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用數列的遞推公式，分別令n=1，2，3依次計算可求得a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）在an+1+(-1)nan=2n-1(n∈N*)中，分別以2n，2n-1代n（第Ⅰ問已做了由特殊到一般的鋪墊），得出 a_2n+1+a_2n=4n-1，a_2n-a_2n-1=4n-3．繼而得出 a₃=2-a₁，a_2n+3+a_2n+1=2，所以 a_2n+3=a_2n-1（n∈N*）．當n=2k（k∈N*）時，a_4k+3=a_4k-1=…=a₃=2-a₁；當n=2k-1（k∈N*）時，a_4k+1=a_4k-3=…=a₁．由已知可得a_4k-1+a_4k-2=8k-5，a_4k-a_4k-1=8k-3（k∈N^*）．所以 a_4k-2=8k-5-a_4k-1=8k-7+a₁，a_4k=8k-3+a_4k-1=8k-1-a₁．最后得出分段形式的通項公式．
（Ⅲ）在求出（Ⅱ）的基礎上，應用分組求和法，得出 S4n=8n2+2n．繼而 Tn=

8n2+2n-55

(n- 5 2 )2

=

42

n- 5 2

+8．再利用函數的思想研究其單調性，求出數列{T_n}的最大項．

解答：（本小題滿分11分）
解：（Ⅰ）因為 an+1+(-1)nan=2n-1(n∈N*)，a₁=1，
所以當n=1時，有a₂-a₁=1，得出 a₂=2，
同理當n=2時求得a₃=1，
當n=3時求得a₄=6．…（2分）
（Ⅱ）因為 an+1+(-1)nan=2n-1，
所以 a_2n+1+a_2n=4n-1，a_2n-a_2n-1=4n-3．
兩式相減得a_2n+1+a_2n-1=2．
所以 a₃=2-a₁，a_2n+3+a_2n+1=2，
所以 a_2n+3=a_2n-1（n∈N*）．
當n=2k（k∈N*）時，a_4k+3=a_4k-1=…=a₃=2-a₁；
當n=2k-1（k∈N*）時，a_4k+1=a_4k-3=…=a₁．
由已知可得a_4k-1+a_4k-2=8k-5，a_4k-a_4k-1=8k-3（k∈N*）．
所以 a_4k-2=8k-5-a_4k-1=8k-7+a₁，a_4k=8k-3+a_4k-1=8k-1-a₁．
因為 a₁=a，
所以 an=

a，n=4k-3 2n-3+a，n=4k-2 2-a，n=4k-1 2n-1-a，n=4k

(k∈N*)．…（7分）
（Ⅲ）設b_n=a_4n-3+a_4n-2+a_4n-1+a_4n（n∈N*），則S_4n=b₁+b₂+…+b_n．
類似（Ⅱ）可得 b_n=a_4n-3+a_4n-2+a_4n-1+a_4n=16n-6．
所以 {b_n}為首項為10，公差為16的等差數列．
所以 S4n=8n2+2n．
因為 Tn=

S4n-55

(n- 5 2 )2

(n∈N*)，
所以 Tn=

8n2+2n-55

(n- 5 2 )2

=

42

n- 5 2

+8．
所以 T₁=-20，T₃=92．
因為 函數f(x)=

42

x- 5 2

+8的單調遞減區間是(-∞，

5

2

)，(

5

2

，+∞)，
所以 數列{T_n}的最大項是92．…（11分）

點評：本題考查數列遞推公式與通項公式的應用及求解，函數思想，分類與整合思想，以及由特殊到一般的認識問題解決問題的思維過程，考查邏輯思維能力，推理計算能力．