Question

設f（x）=ax³+bx²+4x，其導函數y=f′（x）的圖象經過點(

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3

，0)，（2，0），
（1）求函數f（x）的解析式和極值；
（2）對x∈[0，3]都有f（x）≥mx²恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出f′（x）=3ax²+2bx+4，把點(

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3

，0)，（2，0）代入f′（x）求出a，b，就得到f（x）．再令f′（x）=0，得x1=

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3

，x₂=2，列表討論能求出f（x）的極值．
（2）對x∈[0，3]都有f（x）≥mx²恒成立，等價于對x∈[0，3]都有f（x）_min≥（mx²）_max．由此能求出實數m的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+4x，
∴f′（x）=3ax²+2bx+4，
∵y=f′（x）的圖象經過點(

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3

，0)，（2，0），
∴

4 3 a+ 4 3 b+4=0 12a+4b+4=0

，解得a=1，b=-4，
∴f（x）=x³-4x²+4x，
f′（x）=3x²-8x+4．
令f′（x）=0，得x1=

2

3

，x₂=2，
列表討論：

x	（-∞， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

∴在x=

2

3

處，f（x）取極大值f（

2

3

）=（

2

3

）³-4×（

2

3

）²+4×

2

3

=

32

27

．
在x=2處，f（x）取極小值f（2）=2³-4×2²+4×2=0．
（2）∵對x∈[0，3]都有f（x）≥mx²恒成立，
∴對x∈[0，3]都有f（x）_min≥（mx²）_max．
當x∈[0，3]時，令f′（x）=0，得x1=

2

3

，x₂=2，
∵f（0）=0，f（

2

3

）=

32

27

，f（2）=0，f（3）=3³-4×3²+4×3=3．
∴當x∈[0，3]時，f（x）_min=0．
當m＞0時，mx²在[0，3]內是增函數，當x=3時，（mx²）_max=9m，
∵f（x）_min≥（mx²）_max，∴9m≤0，解得m≤0，不成立；
當m＜0時，mx²在[0，3]內是減函數，當x=0時，（mx²）_max=0，
∵f（x）_min≥（mx²）_max，∴0≥0，成立．∴m＜0．
當m=0時，mx²=0，滿足f（x）_min≥（mx²）_max，∴m=0成立．
綜上所述，實數m的取值范圍是（-∞，0]．

點評：本題考查函數解析式的求法，考查函數的極值的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想和分類討論思想的合理運用．