Question

已知函數f（x）的定義域為[0，1]，且同時滿足：①f（1）=3；②f（x）≥2對一切x∈[0，1]恒成立；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2，
（Ⅰ）求函數f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）試比較f(

1

2n

)與

1

2n

+2的大小；
（Ⅲ）某同學發現：當x=

1

2n

（n∈N）時，有f（x）＜2x+2，由此他提出猜想：對一切x∈（0，1]，都有f（x）＜2x+2，請你判斷此猜想是否正確，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對于抽象函數的最值問題，可考慮此函數的單調性；
（Ⅱ）題中條件：f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2，令x₁=x₂=

1

2n

，得f(

1

2n-1

)≥2f(

1

2n

)-2，
利用它進行放縮，可證得答案，
（Ⅲ）因為由題意可得：對x∈[0，1]，總存在n∈N，滿足

1

2n+1

＜x≤

1

2n

．結合（I）、（II）可證得（III）．

解答：解：（Ⅰ）設x₁，x₂∈[0，1]，x₁＜x₂，則x₂-x₁∈[0，1]．
∴f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]≥f（x₂-x₁）+f（x₁）-2．
∴f（x₂）-f（x₁）≥f（x₂-x₁）-2≥0．∴f（x₁）≤f（x₂）． （2分）
則當0≤x≤1時，f（0）≤f（x）≤f（1）． （3分）
在③中，令x₁=x₂=0，得f（0）≤2，由②得f（0）≥2，∴f（0）=2． （4分）
∴當x=0時，f（x）取得最小值為2；
當x=1時，f（x）取得最大值為3． （6分）
（Ⅱ）在③中，令x₁=x₂=

1

2n

，得f(

1

2n-1

)≥2f(

1

2n

)-2（8分）
∴f(

1

2n

)-2≤

1

2

[f(

1

2n-1

)-2]≤

1

22

[f(

1

2n-2

)-2]≤

1

2n

[f(

1

2n-n

)-2]=

1

2n

則f(

1

2n

)≤

1

2n

+2． （11分）
（Ⅲ）對x∈[0，1]，總存在n∈N，滿足

1

2n+1

＜x≤

1

2n

． （13分）
由（Ⅰ）與（Ⅱ），得f(x)≤f(

1

2n

)≤

1

2n

+2，又2x+2＞2•

1

2n+1

+2=

1

2n

+2．
∴f（x）＜x+2．
綜上所述，對任意x∈[0，1]．f（x）＜x+2恒成立． （16分）

點評：本題考查了抽象函數，抽象函數是相對于給出具體解析式的函數來說的，它雖然沒有具體的表達式，但是有一定的對應法則，滿足一定的性質，這種對應法則及函數的相應的性質是解決問題的關鍵．抽象函數的抽象性賦予它豐富的內涵和多變的思維價值，可以考查類比猜測，合情推理的探究能力和創新精神．