Question

【題目】已知曲線，相鄰對稱軸之間的距離為，且函數在處取得最大值，則下列命題正確的是（ ）

①當時，的取值范圍是；

②將的圖象向左平移個單位后所對應的函數為偶函數；

③函數的最小正周期為；

④函數在區間上有且僅有一個零點.

A.①②B.①③C.①③④D.②④

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據函數相鄰對稱軸之間的距離為，求得函數的最小正周期，從而求得，再利用輔助角公式，求得函數的解析式，逐項分析，即可求解.

由題意，函數，其中，

因為函數相鄰對稱軸之間的距離為，可得最小值周期為，

又由，所以，

當時，則，

對于①中，由函數在出取得最大值，可得，

解得，所以，

又由，所以，即，所以是正確的；

對于②中，不妨令，則，可解得一個，那么的圖象向左平移個單位后得到函數，此時函數為奇函數，所以是不正確的；

對于③中，由于的周期為，可得函數的周期為，即函數的最小正周期應滿足，所以是正確的；

對于④中，

，

由③可知函數的最小正周期為，由函數在處取得最大值可知，在其后上滿足，而當超過這區間的時候，存在的情況，

即當時，函數值一直為0，顯然不止一個零點，所以是錯誤的.

當時，同理可驗證得到以上結論，

綜上可得正確的是①③.

故選：B.