Question

已知函數f(x)＝ln x＋2x，g(x)＝a(x²＋x)．
(1)若a＝，求F(x)＝f(x)－g(x)的單調區間；
(2)若f(x)≤g(x)恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）即函數F(x)的單調遞增區間為(0,2)，單調遞減區間為(2，＋∞)．
（2）[1，＋∞)

解：(1)若a＝，
則F(x)＝ln x＋2x－x²－x，
其定義域是(0，＋∞)，
則F′(x)＝＋2－x－
＝－.
令F′(x)＝0，得x＝2，x＝－ (舍去)．
當0<x<2時，F′(x)>0，函數單調遞增；
當x>2時，F′(x)<0，函數單調遞減．
即函數F(x)的單調遞增區間為(0,2)，單調遞減區間為(2，＋∞)．
(2)設F(x)＝f(x)－g(x)
＝ln x＋2x－ax²－ax，
則F′(x)＝－，
當a≤0時，F′(x)≥0，F(x)單調遞增，
F(x)≤0不可能恒成立；
當a>0時，令F′(x)＝0，
得x＝，x＝－ (舍去)．
當0<x<時，F′(x)>0，函數單調遞增；
當x>時，F′(x)<0，函數單調遞減．
故F(x)在(0，＋∞)上的最大值是F，依題意F≤0恒成立，
即ln＋－1≤0.
令g(a)＝ln＋－1，又g(x)單調遞減，且g(1)＝0，故ln＋－1≤0成立的充要條件是a≥1，
所以實數a的取值范圍是[1，＋∞)．