Question

棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁∩B₁D₁=O．
①求異面直線OA與BD₁所成角的余弦值；
②求OA與平面BB₁D₁D所成角的余弦值．

Answer 1

分析：①取BB₁中點M，連接MA，M0，可證得∠AOM即異面直線OA與BD₁所成角在三角形AOM中求解即可；
②連接BD，AC交于一點N，連接ON，可證得∠AON即所求的OA與平面BB₁D₁D所成角，在直角三角形ANO中求其余弦值即可．

解答：解：①如圖取BB₁中點M，連接MA，M0，由正方體的性質知，OM∥BD₁，故∠AOM即異面直線OA與BD₁所成角
由于正方體的棱長為2，故B₁M=1，B₁O=

2

由勾股定理求得OM=

3

，
同理可求得AO=

6

，AM=

5

在△AMO中，由余弦定理知cos∠AOM=

3+6-5

2× 3 × 6

=

2

3

；
②如圖連接BD，AC交于一點N，連接ON，N是底面的中心，連接ON，知ON=2，由正方體的性質知AN垂直面BB₁D₁D，故∠AON即所求的OA與平面BB₁D₁D所成角，
在直角三角形AA₁O中，cos∠AON=

2

6

=

6

3

即OA與平面BB₁D₁D所成角的余弦值是

6

3

點評：本題考查了求異面直線的方法與求線面角的方法，此兩類角的求法都要注意做題步驟，做角，證角，求角，勿因忘記證明失分，此是本類題的易錯點，切記！