Question

如圖，過原點O的直線與函數y=3^x的圖象交于A，B兩點，過B作y軸的垂線交函數y=9^x的圖象于點C，若AC恰好平行于y軸，則點A的坐標為

（log₃2，2）

．

Answer 1

分析：先設A（n，3ⁿ），B（m，3^m），則由過B作y軸的垂線交函數y=9^x的圖象于點C寫出點C的坐標，根據A，B，O三點共線．利用斜率相等即可求得點A的坐標．

解答：解：設A（n，3ⁿ），B（m，3^m），
由9^x=3^m=3^2x，即m=2x，
解得x=

m

2

，即C（

m

2

，3^m）．
∵AC平行于y軸，∴n=

m

2

，m=2n，
∴A（

m

2

，3ⁿ），B（m，3^m）．
又A，B，O三點共線．
∴k_OA=k_OB，
∴

3m

m

=

3n

m 2

=，∴3^m=2•3ⁿ=3²ⁿ，
即3ⁿ=2，
即n=log₃2，
∴3n=3log32=2，
故點A的坐標是（log₃2，2）．
故答案為：（log₃2，2）．

點評：本題主要考查了指數函數的圖象與性質、直線的斜率公式、三點共線的判定方法等，綜合性較強．