Question

【題目】已知直線是拋物線的準線，直線，且與拋物線沒有公共點，動點在拋物線上，點到直線和的距離之和的最小值等于2.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）點在直線上運動，過點做拋物線的兩條切線，切點分別為，在平面內是否存在定點，使得恒成立？若存在，請求出定點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2) 存在定點，使得恒成立

【解析】試題分析：（Ⅰ）作分別垂直和，垂足為，拋物線的焦點為，根據拋物線的定義可得的最小值即為點到直線的距離，故，從而可得結果；（Ⅱ）設， ， ， ，利用導數得到切線斜率，可設出切線方程，根據點在切線上可得到和是一元二次方程的根，利用韋達定理以及平面向量數量積公式，可得時，從而可得結論.

試題解析：（Ⅰ）作分別垂直和，垂足為，拋物線的焦點為，

由拋物線定義知，所以，

顯見的最小值即為點到直線的距離，故，

所以拋物線的方程為．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知直線的方程為，當點在特殊位置時，顯見兩個切點關于軸對稱，故要使得，點必須在軸上．

故設， ， ， ，

拋物線的方程為，求導得，所以切線的斜率，

直線的方程為，又點在直線上，

所以，整理得，

同理可得，

故和是一元二次方程的根，由韋達定理得，

，

可見時， 恒成立，

所以存在定點，使得恒成立．