Question

如圖，多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEFG所截而得，其中AB=4，BC=1，BE=3，CF=4．
（1）求

EF

和點G的坐標；
（2）求GE與平面ABCD所成的角的正弦值；
（3）求點C到截面AEFG的距離．

Answer 1

分析：（1）用坐標表示點，進而可求求

EF

，利用

AG

=

EF

，可求點G的坐標；
（2）求出平面ABCD的法向量，進而向量的夾角公式，可求GE與平面ABCD所成的角的正弦值；
（3）求出平面AEFG的法向量，再利用點到面的距離公式，即可求得點C到截面AEFG的距離．

解答：解：（1）由圖可知：A（1，0，0），B（1，4，0），E（1，4，3），F（0，4，4）
∴

EF

=(-1， 0， 1)
又∵

AG

=

EF

，設G（0，0，z），
則（-1，0，z）=（-1，0，1）
∴z=1，∴G（0，0，1）
（2）平面ABCD的法向量

DG

=(0， 0， 1)．

GE

=(1， 4， 2)，
設GE與平面ABCD成角為θ，則sinθ=cos(

π

2

-θ)=

DG • GE

| DG |•| GE |

=

2 21

21

（3）設

n 0

⊥面AEFG，

n 0

=（x₀，y₀，z₀）
∵

n 0

⊥

AG

，

n 0

⊥

AE

，而

AG

=（-1，0，1），

AE

=（0，4，3）
∴

-x0+z0=0 4y0+3z0=0

∴

x0=z0 y0=- 3 4 z0

∴

n0

=(z0，-

3

4

z0，z0)
取z₀=4，則

n 0

=（4，-3，4）
∵

CF

=（0，0，4）
∴d=

| CF • n0 |

| n0 |

=

16 41

41

即點C到截面AEFG的距離為

16 41

41

．

點評：本題重點考查利用向量知識解決立體幾何問題，考查線面角，考查點到面的距離，求出平面的法向量是解題的關鍵．