Question

定義：對于區間I內可導的函數y=f（x），若?x₀∈I，使f（x₀）=f′（x₀）=0，則稱x₀為函數y=f（x）的新駐點．已知函數f（x）=a^x-x．
（Ⅰ）若函數y=f（x）存在新駐點，求新駐點x₀，并求此時a的值；
（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求導數f'（x）=a^xlna-1，由題意得f(x0)=ax0-x0=0①f′(x0)=ax0lna-1=0②兩式聯立即可得到a=e

1

e

．
（Ⅱ）f（x）=a^x-x≥0?a^x≥x，下面分類討論：（i）x≤0時，顯然恒成立，（ii）x＞0時，設g(x)=

lnx

x

，則g′(x)=

1-lnx

x2

，利用導數研究其單調性即可求實數a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=a^x-x，∴f'（x）=a^xlna-1，由題意得f(x0)=ax0-x0=0①f′(x0)=ax0lna-1=0②
由①得ax0=x0代入②得x₀=log_ae，即ax0=e③
代入①得x₀=e，∴a^e=e，∴a=e

1

e

．
（Ⅱ）f（x）=a^x-x≥0?a^x≥x，
（i）x≤0時，顯然恒成立，
（ii）x＞0時，ax≥x?lnax≥lnx?xlna≥lnx?lna≥

lnx

x

，
設g(x)=

lnx

x

，則g′(x)=

1-lnx

x2

，g'（e）=0，
當x∈（0，e）時，g'（x）＞0，g（x）遞增，
當x∈（e，+∞）時，g'（x）＜0，g（x）遞減，g(x)max=g(e)=

1

e

，∴lna≥

1

e

，∴a≥e

1

e

．

點評：本小題主要考查利用導數研究函數的單調性、利用導數研究函數的極值等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于基礎題．