Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，AD∥BC且AD⊥CD；平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS=2AD=2；E為BS的中點，CE=

2

，AS=

3

，求：
（Ⅰ）點A到平面BCS的距離；
（Ⅱ）二面角E-CD-A的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)線面平行的判定定理可知AD∥平面BCS，則從而A點到平面BCS的距離等于D點到平面BCS的距離，從而DS為點A到平面BCS的距離，在Rt△ADS中求出DS即可；
（Ⅱ）過E點作EG⊥CD，交CD于點G，又過G點作GH⊥CD，交AB于H，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠EGH為二面角E-CD-A的平面角，過E點作EF∥BC，交CS于點F，連接GF，在Rt△FEG中，求出此角即可．

解答：解：（Ⅰ）因為AD∥BC，且BC?平面BCS，
所以AD∥平面BCS，
從而A點到平面BCS的距離等于D點到平面BCS的距離．
因為平面CSD⊥平面ABCD，AD⊥CD，
故AD⊥平面CSD，從而AD⊥SD，
由AD∥BC，得BC⊥DS，又由CS⊥DS知DS⊥平面BCS，
從而DS為點A到平面BCS的距離，
因此在Rt△ADS中DS=

AS2-AD2

=

3-1

=

2

（Ⅱ）如圖，過E電作EG⊥CD，交CD于點G，
又過G點作GH⊥CD，交AB于H，
故∠EGH為二面角E-CD-A的平面角，
記為θ，過E點作EF∥BC，交CS于點F，連接GF，
因平面ABCD⊥平面CSD，GH⊥CD，
易知GH⊥GF，故θ=

π

2

-∠EGF．
由于E為BS邊中點，故CF=

1

2

CS=1，
在Rt△CFE中，EF=

CE2-CF2

=

2-1

=1，
因EF⊥平面CSD，又EG⊥CD
故由三垂線定理的逆定理得FG⊥CD，
從而又可得△CGF～△CSD，
因此

GF

DS

=

CF

CD

而在Rt△CSD中，
CD=

CS2+SD2

=

4+2

=

6

，
故GF=

CF

CD

•DS=

1

6

•

2

=

1

3

在Rt△FEG中，tanEGF=

EF

FG

=

3

可得∠EGF=

π

3

，故所求二面角的大小為θ=

π

6

點評：本題主要考查了點到平面的距離，以及二面角的度量等有關(guān)知識，同時考查了計算能力、推理能力、以及轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．