Question

【題目】某公司設計如圖所示的環狀綠化景觀帶，該景觀帶的內圈由兩條平行線段（圖中的)和兩個半圓構成，設，且.

（1）若內圈周長為，則取何值時，矩形的面積最大？

（2）若景觀帶的內圈所圍成區域的面積為，則取何值時，內圈周長最小？

Answer 1

【答案】（1）100（2）340

【解析】

試題（1）依據題設條件建立目標函數，然后運用基本不等式確定其取最大值時的取值；（2）借助題設條件建立內圈周長的目標函數，然后運用導數知識求其取得最小值時的取值：

解：設題中半圓形半徑為，矩形的面積為，

內圈周長為.

（1）由題意知：，且，即，

于是

當且僅當時，等號成立.

答：當時，矩形的面積最大.

（2）由題意知：，于是，

從而.

因為，所以，即，

解得，所以，故.

因為，

所以關于的函數在上是單調減函數.

故當即時，內圈周長取得最小值，

且最小值為.