Question

函數f（x）=|e^x-bx|，其中e為自然對數的底．
（1）當b=1時，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）若函數y=f（x）有且只有一個零點，求實數b的取值范圍；
（3）當b＞0時，判斷函數y=f（x）在區間（0，2）上是否存在極大值．若存在，求出極大值及相應實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）記g（x）=e^x-bx，當b=1時，g′（x）=e^x-1，從而可得f′（1）=g′（1）=e-1，由此可求切線方程；
（2）f（x）=0同解于g（x）=0，因此，只需g（x）=0有且只有一個解，即方程e^x-bx=0有且只有一個解，因為x=0不滿足方程，所以方程同解于b=，分類討論可得當x∈（0，+∞）時，方程有且只有一解等價于b=e；當x∈（-∞，0）時，方程有且只有一解等價于b∈（-∞，0），從而可得b的取值范圍；
（3）由g′（x）=e^x-b=0，得x=lnb，從而可得在x=lnb時，g（x）取極小值g（lnb）=b-blnb=b（1-lnb），再分類討論，即可得到結論．
解答：解：（1）記g（x）=e^x-bx．
當b=1時，g′（x）=e^x-1．
當x＞0時，g′（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上為增函數．
又g（0）=1＞0，所以當x∈（0，+∞）時，g（x）＞0．
所以當x∈（0，+∞）時，f（x）=|g（x）|=g（x），
所以f′（1）=g′（1）=e-1．
所以曲線y=f（x）在點（1，e-1）處的切線方程為：y-（e-1）=（e-1）（x-1），即y=（e-1）x．  …（4分）
（2）f（x）=0同解于g（x）=0，因此，只需g（x）=0有且只有一個解，即方程e^x-bx=0有且只有一個解．
因為x=0不滿足方程，所以方程同解于b=．  …（6分）
令h（x）=，由h′（x）==0得x=1．
當x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增，h（x）∈（e，+∞）；
當x∈（0，1）時，h′（x）＜0，h（x）單調遞減，h（x）∈（e，+∞）；
所以當x∈（0，+∞）時，方程b=有且只有一解等價于b=e．…（8分）
當x∈（-∞，0）時，h（x）單調遞減，且h（x）∈（-∞，0），
從而方程b=有且只有一解等價于b∈（-∞，0）．
綜上所述，b的取值范圍為（-∞，0）∪{e}．  …（10分）
（3）由g′（x）=e^x-b=0，得x=lnb．
當x∈（-∞，lnb）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減．
當x∈（lnb，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增．
所以在x=lnb時，g（x）取極小值g（lnb）=b-blnb=b（1-lnb）．
①當0＜b≤e時，g（lnb）=b-blnb=b（1-lnb）≥0，從而當x∈R時，g（x）≥0．
所以f（x）=|g（x）|=g（x）在（-∞，+∞）上無極大值．
因此，在x∈（0，2）上也無極大值．      …（12分）
②當b＞e時，g（lnb）＜0．
因為g（0）=1＞0，g（2lnb）=b²-2blnb=b（b-2lnb）＞0，
（令k（x）=x-2lnx．由k′（x）=1-=0得x=2，從而當x∈（2，+∞）時，k（x）單調遞增，
又k（e）=e-2＞0，所以當b＞e時，b-2lnb＞0．）
所以存在x₁∈（0，lnb），x₂∈（lnb，2lnb），使得g（x₁）=g（x₂）=0．
此時f（x）=|g（x）|=
所以f（x）在（-∞，x₁）單調遞減，在（x₁，lnb）上單調遞增，在（lnb，x₂）單調遞減，在（x₂，+∞）上單調遞增． …（14分）
所以在x=lnb時，f（x）有極大值．
因為x∈（0，2），所以當lnb＜2，即e＜b＜e²時，f（x）在（0，2）上有極大值；
當lnb≥2，即b≥e² 時，f（x）在（0，2）上不存在極大值．
綜上所述，在區間（0，2）上，當0＜b≤e或b≥e²時，函數y=f（x）不存在極大值；
當e＜b＜e²時，函數y=f（x），在x=lnb時取極大值f（lnb）=b（lnb-1）．…（16分）
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查導數的幾何意義，考查函數的極值，考查分類討論的數學思想，難度較大．