Question

在等差數列是{a_n}中，已知a₄與a₂與a₈的等比中項，a₃+2是a₂與a₆的等差中項，S_n是前n項和，則滿足的所有n值的和為________．

Answer 1

35
分析：由a₄是a₂與a₈的等比中項，a₃+2是a₂與a₆的等差中項，可求得公差、首項，進而得到通項a_n，從而求得S_n及，于是可求出，解不等式，由n的范圍可確定n值，其和易求．
解答：設等差數列是{a_n}的公差為d，由a₄是a₂與a₈的等比中項，得=（a₁+d）（a₁+7d），化簡得①，
由a₃+2是a₂與a₆的等差中項，得2（a₁+2d+2）=（a₁+d）+（a₁+5d），解得d=2，代入①得a₁=d=2．
所以a_n=a₁+（n-1）•d=2n，
則=n（n+1），
所以==，
則=1-+++…+=1-，
由已知得＜1-＜，解得＜n＜，
又n∈Z，所以n=5，6，7，8，9，且5+6+7+8+9=35，
故答案為：35．
點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合、數列求和問題，屬中檔題，通項公式、求和公式及相關基本方法是解決問題的基礎．