Question

【題目】如圖，在三棱柱中，平面，，，且，，，分別為棱，，，的中點．

（I）證明：直線與共面；

（Ⅱ）證明：平面平面；并試寫出到平面的距離（不必寫出計算過程）．

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

（I）由中位線的性質可得，再由棱柱的性質可得，根據平行線的傳遞性可得，從而得到四點共面，即可得證；

（Ⅱ）首先可得，再由線面垂直的性質得到，從而得到平面，再根據，即可得到平面，從而得證；設，則平面平面，過作于，可得即為到平面的距離，再在三角形中利用勾股定理及相似三角形的性質計算可得.

解：（I）證明：，分別是，的中點，，

由棱柱性質易得，，

，，，四點共面，即直線與共面．

（Ⅱ）同（I）易證四邊形為平行四邊形，又，為中點，則，又平面，平面，

，，平面，平面

平面，又，平面，又平面，平面平面得證．

到平面的距離為．

（解答）如圖，設，則平面平面，過作于，可得即為到平面的距離．在中，，，，，則，又，則在中，

故，即到平面的距離為．