Question

4個男同學，3個女同學站成一排，下列情況各有多少種不同排法：

n	2	3	4	5	6	7
n!	2	6	24	120	720	5040

（1）3個女同學必須排在一起；
（2）同學甲和同學乙之間恰好有3人；
（3）女同學從左往右按從高到低排（3個女同學身高互不相等）；
（4）同學甲不站在左端，同學乙不站在右端．
注：解答須列式，答案要用數字表示，下面給出數據供參考．

Answer 1

分析：（1）必須排在一起的用視一法來求，即把必須排在一起的看成一個整體，與剩余元素進行全排列，注意整體之間還要進行全排列．
（2）因為甲乙之間恰有3人，先選3人放入甲乙之間，再把這5人看做一個整體，與剩余元素進行全排列，注意甲乙之間還有順序．
（3）因為女同學從左往右按從高到低排，所以女同學順序確定，只需先不考慮女同學的順序，把7人進行全排列，再除以女同學的順序即可．
（4）用排除法來做．先不考慮甲乙的限制條件，把7人進行全排列，再減去不成立的情況，若多減了，還要再加上多減的情況．

解答：解：（1）∵3個女同學必須排在一起，可看成一個整體，與4個男同學進行排列，共有A₅⁵種不同的排法，
3個女同學之間還要進行全排列，有A₃³種不同的排法，
最后兩步方法數相乘，共有A₃³•A₅⁵=720  種不同的方法   
（2）∵同學甲和同學乙之間恰好有3人，∴先選3人放入甲乙之間，有A₅³種不同的選法，
再把甲乙與這3人看成一個整體，與剩余2人進行全排列，有A₃³種不同的排法，
甲乙之間還要進行全排列，有A₂²種不同的排列，
最后，把三步方法數相乘，共有A₅³•A₂²•A₃³=720 種不同的方法．   
（3））∵女同學從左往右按從高到低排，∴女同學之間的順序確定，
先不考慮女同學的限制，7個人進行全排列，再除以女同學的順序，
共有

A 7 7

A 3 3

=840種不同的排列．
（4）甲在左端共有A₆⁶種不同的排法，乙在右端共有A₆⁶種不同的排法，
先不考慮限制條件，讓7人進行全排列，共有A₇⁷種排法，
再去掉甲在左端的情況和乙在右端的情況，這樣甲在左端，同時乙在右端的情況去了2次，
∴共有A₇⁷-2A₆⁶+A₅⁵=3720種不同的方法．

點評：本題主要考查了排列再實際問題中的應用，考查了相鄰問題，順序確定問題，有限制元素的問題的解法，做題過程中注意總結題型．