Question

如圖所示，GH是一條東西方向的公路，現準備在點B的正北方向的點A處建一倉庫，設AB=y千米，并在公路旁邊建造邊長為x千米的正方形無頂中轉站CDEF（其中邊EF在公路GH上），現向公路和中轉站分別修兩條簡易公路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°．
（1）求y關于x的函數解析式；
（2）如果中轉站四周圍墻造價為l0萬元/千米，公路造價為30萬元/千米，問x取何值時，建中轉站和道路總造價M最低．

Answer 1

解：（1）∵AB=y，AB=AC+1，∴AC=y-1．
在直角三角形BCF中，∵CF=x，∠ABC=60°，
∴∠CBF=30°，BC=2x．
由于2x+y-1＞y，得．
在△ABC中，∵AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos60°，
∴（y-1）²=y²+4x²-2xy
∴
∵y＞0，，∴x＞1
∴y關于x的函數解析式是；
（2）M=30（2y-1）+40x=10
令x-1=t，則M=10（）≥490
當且僅當t=，x=，時，總造價M最低．
分析：（1）先求出BC，再在△ABC中，利用余弦定理，即可得到y關于x的函數解析式；
（2）確定建中轉站和道路總造價解析式，利用換元法，結合基本不等式，即可得到結論．
點評：本題考查函數解析式，考查函數的最值，考查利用數學知識解決實際問題，考查學生的計算能力，屬于中檔題．