Question

設二次函數f(x)滿足f(2+x)=f(2-x),且f(x)=0的兩個實根的平方和為10,f(x)的圖象過點(0,3),求f(x)的解析式.

Answer 1

思路分析:要求的函數為二次函數,一般可設其為f(x)=ax²+bx+c(a≠0),然后根據已知條件求出系數a、b、c,從而求得該二次函數.由于本題條件f(2+x)=f(2-x)隱含著函數f(x)的圖象關于直線x=2對稱,故可設函數f(x)=a(x-2) ²+k.

解:∵f(2+x)=f(2-x),

∴f(x)的圖象關于直線x=2對稱.

于是,設f(x)=a(x-2) ²+k(a≠0),

則由f(0)=3,可得k=3-4a,

∴f(x)=a(x-2) ²+3-4a=ax²-4ax+3.

∵ax²-4ax+3=0的兩實根的平方和為10,

∴10=x₁²+x₂²=(x₁+x₂) ²-2x₁x₂=16-,∴a=1.

∴f(x)=(x-2) ²-1=x²-4x+3.

說明:解題的過程就是運用已知條件的過程,已知條件要用得能揭露題目的本質(越徹底越好).如果設f(x)=ax²+bx+c(a≠0),運用條件f(2+x)=f(2-x)也能求得b=-4a,但不如采用上述對稱法對問題揭露得徹底.

本題解法為待定系數法,它適用于已知函數的思路解析式的類型(例如一次函數、二次函數等)及函數的某些特征求該函數的問題,關鍵在于快捷地求出待定常數.