Question

已知函數f（x）=

1

3

x³+

1-a

2

x²-ax-a，x∈R，其中a＞0．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若函數f（x）在區間（-2，0）內恰有兩個零點，求a的取值范圍；
（3）當a=1時，設函數f（x）在區間[t，t+3]上的最大值為M（t），最小值為m（t）．記g（t）=M（t）-m（t），求函數g（t）在區間[-3，-1]上的最小值．

Answer 1

（1）求導函數可得f′（x）=（x+1）（x-a），令f′（x）=0，可得x₁=-1，x₂=a＞0
令f′（x）＞0，可得x＜-1或x＞a；令f′（x）＜0，可得-1＜x＜a
故函數的遞增區間為（-∞，-1），（a，+∞），單調遞減區間為（-1，a，）
（2）由（1）知函數在區間（-2，-1）內單調遞增，在（-1，0）內單調遞減，從而函數在（-2，0）內恰有兩個零點，
∴

f(-2)＜0 f(-1)＞0 f(0)＜0

，∴

- 2 3 -a＜0 1 6 - a 2 ＞0 -a＜0

，∴0＜a＜

1

3

∴a的取值范圍為(0，

1

3

)；
（3）a=1時，f（x）=

1

3

x3-x-1，由（1）知，函數在（-3，-1）上單調遞增，在（-1，1）上單調遞減，在（1，2）上單調遞增
①當t∈[-3，-2]時，t+3∈[0，1]，-1∈[t，t+3]，f（x）在[t，-1]上單調遞增，在[-1，t+3]上單調遞減
因此函數在[t，t+3]上的最大值為M（t）=f（-1）=-

1

3

，而最小值m（t）為f（t）與f（t+3）中的較小者
由f（t+3）-f（t）=3（t+1）（t+2）知，當t∈[-3，-2]時，f（t）≤f（t+3），故m（t）=f（t），所以g（t）=f（-1）-f（t）
而f（t）在[-3，-2]上單調遞增，因此f（t）≤f（-2）=-

5

3

，所以g（t）在[-3，-2]上的最小值為g(-2)=-

1

3

-(-

5

3

)=

4

3

②當t∈[-2，-1]時，t+3∈[1，2]，-1，1∈[t，t+3]，下面比較f（-1），f（1），f（t），f（t+3）的大小．
由f（x）在[-2，-1]，[1，2]上單調遞增，有
f（-2）≤f（t）≤f（-1），f（1）≤f（t+3）≤f（2）
∵f（1）=f（-2）=-

5

3

，f（-1）=f（2）=-

1

3

∴M（t）=f（-1）=-

1

3

，m（t）=f（1）=-

5

3

∴g（t）=M（t）-m（t）=

4

3

綜上，函數g（t）在區間[-3，-1]上的最小值為

4

3

．